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黎曼猜想被证明了吗 黎曼假设要被证明了?-目前看不太可能

这两天大老李的数学相关订阅号里都是如下一条新闻:

那为啥还需要后面这种积分形式?其实函数的一个要点就是我们希望把级数形式的这种函数的定义域,扩展到复数上。而且我们希望这个函数定义域扩展到复数域上,尽可能在更多的地方收敛,因为收敛这函数才好玩,才有用嘛。

这种扩展有一个专门的方法叫解析延拓,这不是随意扩展,是一种有特定规则的延展。反正经过这种解析延拓后,这个函数的定义域就扩展到了整个复数平面上,而且仅在s=1的这个点发散,其他位置都是收敛的,扩展后的定义就是这种积分形式。

那这个函数有什么隐藏的奥义呢,它确实有重大的奥秘在里面。黎曼发现函数的非平凡0点,也即是函数值取0的位置,与素数的分布有重。所有负偶数,你把-2,-4,-6这些值带入,函数值算出来都是0。

黎曼要研究这个函数的非平凡0点,也就是除去这些负偶数的点之外的0点,然后他很快确认那些非平凡0点必须位于实部0到1之间的区域上,也就是一个复数写成a+bi的形式的话,a必须是大于0小于1。然后他又计算了前面大概10个0点的确切位置,他发现一个惊人事实,就是这些零点的位置,不但实部都在0和1之前,而是恰好都是1/2。

黎曼意识到,如果能证明函数的所有非平凡0点的实部恰好是1/2的话,那将是一个十分重大的发现,因为它与素数的分布密切有关。证明了这一点,我们不但可以对素数的数量,就是前n个整数里有多少个素数,达到非常高精度的估计,而且它还能对素数的间隔产生更好的估计。如果证明了黎曼假设,我们就能证明素数的分布不是那么随机,而是随机中有一定的规律。

总之,黎曼假设就是要证明zeta函数的非平凡0点的实部都是1/2,而证明它,就表示我们对素数的认知又有了一次质的的飞跃了。希尔伯特曾经说过,如果他几百年后能复活的话,他问的第一句话就会是证明了黎曼假设了吗?足见数学家对这个问题的重视程度。另外,现在还有上千个命题都是作为黎曼假设的推论存在的,但是黎曼假设一天不证明,这些命题也就只能作为猜想存在。而一旦黎曼假设被否定,这几千个命题就都变假命题了,有人说过,这将是一次人类有关素数知识的大灾难。

好了,我简单介绍了一下什么是黎曼假设,已经忽略了好多细节,因为我实在没时间具体讲了,但我还是很推荐大家有空看看有关黎曼猜想的科普书或文章,是很有意思的。

那黎曼猜想提出到现在也有150年左右时间了,目前进展如何呢?肯定有人会暴力计算,因为现在计算机那么普及了,但是如你所想,算了几亿个零点了,没有反例,再继续算下去是没有任何意义了。以往有关素数的很多猜想和命题都提醒我们,找出再多的实证都是没有用的,很多命题的反例都出现在天文数字之后。

目前已知的是我们知道有无穷多个0点在实部为1/2的这条纵线上,而且这条线上的0点至少占总数的2/5。2/5还是很弱的,因为我们要证明的100%。

终于可以讲讲这个问题与物理学的联系了,这是一个很巧合的事情。话说在1972年,很巧合的一次机会,物理学家Freeman Dyson和数论专家休·蒙哥马利在普林斯顿碰面了。两个人一起喝茶的时候随便开始聊天,蒙哥马利跟道森所他最近就在研究黎曼假设,而且他发现函数的0点分布是有规律的,就是在实部是x=1/2纵轴上的0点分布,这种规律后来被称为“对关联假设”,,这个量子系统里的能级都完美对应黎曼函数的非平凡0点。也就是如果第n个能级记作,那么

就要等于0。

更重要的一点是,如果这种量子系统存在,那么就等于是证明了黎曼假设。原因是量子的能级都是实数,因为能级是可以测量的嘛,那么

就能保证这个复数没法继续化简,实部只能是1/2,虚部是,而我们已经定义了系统中的能级都对应能使

都是函数的0点,那么函数就没有其他非平凡0点,否则我们构造的这个量子系统就失败了。当然我的解释是很粗糙,因为这里面牵涉到的物理和数学准备知识太多,我抱歉只能解释到这样。

这之后,物理学家就开始忙碌起来,试图寻找符合这种条件的量子系统。在今年的3月30号,三位来自美国,加拿大和英国的研究者共同发表了一篇论文,里面阐述了一种可能的符合上述条件量子系统。但这个系统是有点奇怪的,目前说这篇论文证明了黎曼假设还为时尚早。

为什么奇怪呢,一般来说物理学建用来描述量子系统的矩阵都是高度对称的,这种高度对称性确保了矩阵的特征值是实数,这样才能保证最终算出来的能级都是实数,能级是虚数肯定是不能接受的。

但是这篇论文中提出的这种量子系统只符合一种比较弱的对称性:叫宇称时间对称性。反正这种对称性因为比较弱,所以它没法保证符合这种对称性的矩阵有实数特征值,那也就无法保证最终的能级是实数。

这篇论文的其中一个作者说,他认为他的矩阵的特征值是很可能实数,但是他自己现在也无法证明这一点。他们也在考虑进一步完善他们的证明,但目前他们自己感觉还有很大的困难。

其他专家对他们的论文评价是,这是很有趣,但是还需要很多时间去验证和完善。所以目前来看,他们的论文只可能是进攻黎曼假设的一个新的方向和策略,但我们里解决黎曼假设还有多远,谁都不知道。

其实我在准备这期节目的最大收获就是发现数学和物理世界的这种奇妙联系,就是素数分布与自然现象中出现的类似模式,这是很奇妙的。而且如果量子世界和素数如果可以联系起来的话,就可以建立大为简单的量子模型,可以解释很多混沌物理现象中,会发现一些暂时和局部的有序现象,这说不定就是素数在其中起作用。这是十分美妙的一种联系。好,今天节目到这,下期再见!

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